martes, 24 de mayo de 2011

4.7 Cálculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se
llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado y/e  y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria.
Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Fórmula de Taylor
Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Referencias en http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm
Publicado por: Mariano Banzo Marraco
Ejemplos de series de Taylor:

  1. Exprese $ f(x) = \sqrt{1 + x}$ Como serie de Maclaurin.
  2. Solución: Hallamos las derivadas $ n$-ésimas $ f^{(n)}(x)$:
  3. $ f^{(0)}(x) = (1 + x)^{1/2}$.
  4. $ f^{(1)}(x) = (1/2)(1 + x)^{-1/2}$.
  5. $ \displaystyle f^{(2)}(x) = (-1) \frac{1}{2^2}(1 + x)^{-3/2}$.
  6. $ \displaystyle f^{(3)}(x) = (1) \frac{(1)(3)}{2^3}(1 + x)^{-5/2}$.
  7. $ \displaystyle f^{(4)}(x) = (-1) \frac{(1)(3)(5)}{2^4}(1 +
x)^{-7/2}$.
  8. $ \displaystyle f^{(5)}(x) = (1) \frac{(1)(3)(5)(7)}{2^5}(1 +
x)^{-9/2}$.
  9. A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para $ f^{(n)}(x)$, en términos de $ n$. ¿Cómo lo hacemos?
  10. En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:
  11. $ \displaystyle f^{(n)}(x) = q_{n} \frac{(1)(3)(5)\cdots
(r_{n})}{2^{s_{n}}}(1 + x)^{-t_{n}/2}$.
  12. [por ejemplo, $ q_{4} = -1$, $ r_{4} = 5$, $ s_{4} = 4$ y $ t_{4} =
7$].
  13. A partir de esto es fácil concluir que $ q_{n} = (-1)^n$ y $ s_{n} =
n$.
  14. Para hallar $ r_{n}$ y $ t_{n}$ utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de $ n$ y $ r_{n}$.
Publicado por: Andrés Forero Cuervo

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