La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se
llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado y/e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria.
Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.
Fórmula de Taylor
Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Referencias en http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm
Publicado por: Mariano Banzo Marraco
Ejemplos de series de Taylor:
- Exprese
Como serie de Maclaurin.
- Solución: Hallamos las derivadas
-ésimas
:
.
.
.
.
.
.
- A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para
, en términos de
. ¿Cómo lo hacemos?
- En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:
.
- [por ejemplo,
,
,
y
].
- A partir de esto es fácil concluir que
y
.
- Para hallar
y
utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de
y
.
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