Se ha visto que una serie de potencias representa una función (su suma) analítica en:
A continuación se va a establecer un recíproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.
a) Teorema
Si f(z) es analítica en un círculo abierto
admite en dicho dominio una representación en serie:
Que podemos escribir:
Esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en serie de Taylor en un entorno de z0
Si Z0=0 la serie de Taylor se conoce como serie de MacLaurin de f(z).
EJEMPLOS DE LA SERIE DE TAYLOR
1.- Calcule la serie de maclaurin para
Solución
para toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:
Obtenga la serie te Taylor para sen x en a.
Si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) = -sen x, ƒ````(x) = -cos x, (x) = sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor,
la serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.
2.-Utilizando la definición de desarrollo de Taylor ( ó de MacLaurin ) se obtiene:
sea:
Luego:
Análogamente:
3.- Como consecuencia de los anteriores es inmediato que por ejemplo:
4.- A partir de la serie geométrica
pueden obtenerse de forma inmediata:
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