3.2 Longitud de Curvas

Longitud de curvas


Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimension lineal. Históricamente, ha sido difi­cil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios metodos para curvas especi­ficas, la llegada del calculo trajo consigo la formula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.


Formulacion

Al considerar una curva definida por una funcion    y su respectiva derivada  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuacion:

En el caso de una curva definida parametricamente mediante dos funciones dependientes de t como    e     la longitud del arco desde el punto    hasta el punto     se calcula mediante:



Si la funcion esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el angulo polar estan relacionados mediante      la longitud del arco comprendido en el intervalo     toma la forma:


Deduccion de la formula para funciones de una variable

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una funcion     , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este proposito podemos diseñar una serie de triangulos rectangulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este metodo mas funcional" tambien podemos exigir que las bases de todos aquellos triangulos sean iguales a, de manera que para cada uno existir un cateto y asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,

siendo entonces cada hipotenusa igual a      , al aplicarse el teorema pitagorico. asia­, una aproximacion de S estara dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresion;


Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras mas pequeños sean estos n segmentos, mejor sera la aproximacion buscada; seran tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δy_i / Δx_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximacion anterior se convierte en una sumatoria mas fina y ahora exacta, una integracion de infinitos segmentos infinitesimales;



http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco





Fuente de informacion: Libro de calculo integral para ciencias basicas en ingenieria
Autor: Rene benitez
Editorial: Trillas

Resultado de Test del dia 29-junio-2011
De: Maximiliano Guzmán González